Прикладная математика & Физика

Первые асимптотики решений вырождающихся дифференциальных уравнений второго порядка

Виктор Петрович Архипов — 2023-09-30

Для обыкновенных линейных вырождающихся дифференциальных уравнений второго порядка предложен метод построения асимптотических представлений решений, позволяющий построить точные асимптотики решений в окрестности точки вырождения. Приводится пример получения степенной асимптотики.

О стратификации и топологической структуре классических компактных групп Ли

Валерий Николаевич Берестовский — 2023-09-30

В статье осуществлена стратификация классических связных компактных групп Ли. Стратом наибольшей размерности каждой такой группы Ли является диффеоморфный образ ее алгебры Ли относительно преобразования Кэли, состоящий в точности из матриц, допускающих (обратное) преобразование Кэли. Дальнейшая стратификация производится на подмножестве исключительных матриц группы Ли, т.е. подмножестве всех матриц, не допускающих преобразования Кэли. Основное внимание уделяется группам Ли унитарных матриц. Как следствие, получено описание топологической структуры множеств исключительных унитарных операторов в двумерных и трехмерных комплексных векторных пространствах; первое из них реализовано физиками как конформная бесконечность пространства Минковского. Стратификация унитарных групп использует указанные в статье фундаментальные области действия их групп Вейля на максимальных торах и однородные пространства с геометрическими структурами - орбиты канонических унитарных матриц относительно действия унитарных групп сопряжениями.

Стохастическая дифференциальная геометрия гладких поверхностей положительной кривизны

Дмитрий Сергеевич Климентов — 2023-09-30

В предлагаемой работе выводится стохастический аналог уравнений Петерсона – Кодацци для двумерных поверхностей положительной кривизны класса C^k. Для исследования этих объектов используются методы стохастического анализа, точнее формула Ито и свойства броуновского движения, порождённого метрикой поверхности. Существенным отличием от результатов И. Я. Бакельмана [3] является применение формулы Ито и второй производной Ито, которая вводится в этой работе. Также используется техника симметричных интегралов (детерменированного аналога) стохастических интегралов Стратоновича).

О структуре спектра и резольвентного множества оператора Теплица в счетно-нормированном пространстве гладких функций

Александр Эдуардович Пасенчук — 2023-09-30

В счетно-нормированном пространстве гладких на единичной окружности функций рассматривается оператор Теплица с гладким символом. Изучаются вопросы об ограниченности, нетеровости и обратимости таких операторов. Вводятся понятия гладкой канонической вырожденной факторизации типа минус гладких функций и связанной с ней локальной вырожденной канонической факторизации типа минус. Получены критерии в терминах символа существования канонической вырожденной факторизации типа минус. Как и в классическом случае оператора Теплица в пространствах суммируемых функций с винеровскими символами, нетеровость оператора Теплица оказалась равносильной наличию гладкой вырожденной канонической факторизации типа минус его символа. Устанавливается эквивалентность вырожденной канонической факторизуемости и аналогичной локальной факторизуемости, что позволяет при исследовании вопросов обратимости пользоваться локализацией символа на некоторых характерных дугах окружности. Получены соотношения, связывающие спектры некоторых операторов Теплица в пространствах гладких и суммируемых функций. Дается описание резольвентного множества оператора Теплица с гладким символом.

Линейно-автономные симметрии одной дробной модели Геана – Пу

Христофор Васильевич Ядрихинский — 2023-09-30

Исследована групповая структура уравнения Геана – Пу дробного порядка по переменной цены базового актива, представляющего собой одну из моделей динамики ценообразования опционов с учетом транзакционных издержек. Осуществлен поиск непрерывных групп линейно-автономных преобразований эквивалентности. Найденные преобразования эквивалентности использованы при построении групповой классификации (в рамках линейно-автономных преобразований) рассматриваемого уравнения с нелинейной функцией в правой части уравнения в качестве свободного элемента. В случае ненулевой безрисковой ставки показано, что возможны два случая допускаемых групп линейно-автономных преобразований изучаемого уравнения: двумерная в случае специального вида свободного элемента и одномерная в остальных случаях. Если же безрисковая ставка равна нулю, имеется четыре варианта допускаемой группы, которая может быть двумерной, трехмерной или четырехмерной. В дальнейшем предполагается использование полученной групповой классификации при вычислении инвариантных решений и законов сохранения исследуемой модели.

Многочлены Лагерра в описании профилей прямой и обратной волн для волнового уравнения на отрезке при условии Робена или при условии присоединённой массы

Филипп Олегович Найдюк — 2023-09-30

В работе выводится формула, описывающая через начальные данные и прочие параметры профили прямой и обратной волн у решения начально-краевой задачи для волнового уравнения на отрезке при следующих краевых условиях: на левом конце – условие первого или второго рода, а на правом – условие третьего рода (Робена) или так называемое условие присоединённой массы. Эта формула содержит конечное число арифметических операций, элементарных функций, квадратур и таких преобразований независимого аргумента у начальных данных, как умножение на число и взятие целой части числа.

О задаче Дирихле в плоской области с разрезом

Наталия Николаевна Агаркова — 2023-09-30

В работе исследуется разрешимость модельного эллиптического уравнения в плоской области с разрезом по лучу. Решение разыскивается в пространстве Соболева – Слободецкого. Используя специальную факторизацию для символа эллиптического оператора выписывается общее решение уравнения в области с вырезанным сектором, которое содержит произвольную функцию. С учетом условий Дирихле нахождение этой функции сводится к решению системы двух одномерных линейных интегральных уравнений. Затем изучается поведение этих уравнений, когда раствор сектора стремится к нулю, и сектор трансформируется в луч. В результате получается одно интегральное уравнение, однозначная разрешимость которого эквивалентна однозначной разрешимости задачи Дирихле в плоской области с вырезанным лучом.

Периодические решения квазилинейного уравнения Эйлера – Бернулли колебаний балки с упруго закрепленным концом

Игорь Алексеевич Рудаков — 2023-09-30

Рассмотрена задача о периодических по времени решениях квазилинейного уравнения Эйлера – Бернулли колебаний балки, испытывающей растяжение вдоль горизонтальной оси. Граничные условия соответствуют случаям упруго закрепленного, жестко заделанного и шарнирно закрепленных концов. Нелинейное слагаемое удовлетворяет условию нерезонансности на бесконечности. С использованием принцип Шаудера доказывается теорема о существовании и единственности периодического решения.

Двусторонние оценки решений с обострением режима нелинейного уравнения теплопроводности с квадратичным источником

Юрий Петрович Вирченко — 2023-09-30

Изучаются решения u(x, t) ≥ 0, x ∈ R, t ≥ 0 компактным носителем одномерного нелинейного уравнения теплопроводности с вырождающимися при u(x, t) = 0; линейным по u транспортным коэффициентом и самосогласованным источником αu + βu² общего вида. Устанавливаются двусторонние оценки времени обострения для решений с компактным носителем, функционально зависящие от начальных условий u(x, t).